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내가 사랑한 수학 이야기

교과서에서 뛰쳐나온 진짜 수학 이야기! 수학을 아는 것은 곧 더 나은 일상을 만드는 일로 이어집니다. ‘수포자(수학 포기 자)’라는 용어를 익숙하게 사용하는 요즘 세대들에게 수학이란 과연 어떤 학문일까? 학년이 올라갈수록 읽기에도 버거운 낯선 수학 공식들의 등장 때문인지 고등학생 가운데 절반 이상이 말 그대로 수포자를 자처하고 있다. 그렇다면 수학이 그 옛날에도 범접하기 힘든 ‘두려운’ 학문이었을까? 혹시 과거와 달리 현대 사회는 수학과 일상 사이에 깊은 틈이 벌어져 수학이 우리에게 큰 도움이 된다는 사실을 사람들이 점차 잊고 있는 것은 아닐까? 이에 이 책은 지금껏 수학이 어떻게 사용되어 왔는지, 또 현재는 어떻게 쓰이고 있는지를 실제 생활 속에서 사용하고 있는 수학 공식들을 통해 살펴본다. 이를 통해 수학이 현실과 얼마나 밀접한 학문인지, 나아가 우리의 일상을 풍요롭게 하는 데 얼마나 기여했는지를 확인할 수 있을 것이다.

저자

야나기야 아키라

출판

청어람e

출판일

2018.03.23

 

1. 서두

사칙연산을 넘어서는 수학 지식이 실생활에 수시로 사용되지는 않는다. 그래서 수학 관련 전공자들이나 수학을 바탕으로 연구를 진행해야 하는 기초 과학 분야의 사람들을 제외하고 일반 사람들이 수학의 전문 지식을 알 필요가 있을까는 끝없는 논쟁의 대상이다. 그럼에도 불구하고 여전히 수학의 강도 높은 학교 수업은 계속되고 있고 수학 포기자들은 과거나 지금이나 별반 차이없이 비슷한 비율을 유지하고 있다. 깊이 있는 수학 교육을 지지하는 사람들 입장에서는 수학 문제를 푸는 과정 속에서 논리적 사고가 생긴다고 말한다. 하지만 논리적 사고는 굳이 수학 문제가 아니더라도 책을 많이 있고 다양한 경험을 쌓는 과정 속에서 강화되게 된다. 결국 강도 높은 수학 공부는 대입 시험에서 강력한 변별력을 가지기 때문이다. 즉, 수학만큼 학생들의 성적을 객관적으로 평가하면서 줄 세우기를 할 수 있는 과목이 없다. 그래서 모든 사람들에게 균등하게 기회를 제공하자면 객관적 평가 기준이 필요하고, 객관적 평가 기준이 필요한 이상 수학을 대체할만한 것은 아직 없다. 이것이 수포자가 생기든 말든 모든 학생들에게 보편적으로 수학 수업이 배정되는 솔직한 이유일 것이다. 그렇다면 어차피 피할 수 없는 한 주어진 시간 동안은 수학 공부에 매진할 필요가 있고, 이왕 매진할 거라면 적어도 작은 흥미와 명분이라도 있으면 좋다. 이 책은 많은 수포자와 대기 수포자들에게 작은 희망의 불씨를 제공한다. 이 책을 읽는다고 갑자기 수학을 잘 하거나 수학을 급격히 사랑할 수는 없다. 하지만 수학이라는 게 아주 필요없는 것은 아님을 알게 될 것이다.

 

 

2. 불법 피라미드

수년이 지나도 다단계 사기는 계속 반복되고 있다. 다단계 영업은 일명 피라미드 영업을 말한다. 그런데 피라미드 영업이 무조건 불법은 아니다. 적절히 합법적인 테두리 안에서 행해지는 회사들도 있다. 대표적으로 보험 회사의 영업도 어느 수준까지는 피라미드 영업에 해당한다. 가장 정점에 보험회사 본사가 있고, 그 밑으로 본부장이나 임원이 있고, 그 다음으로 지점장이 있고, 그 밑에 부지점장이 있고, 또 그 밑에 영업 사원이 존재한다. 그리고 그 끝에서 활동하는 영업 사원이 유치하는 고객의 보험 계약을 통해서 전체 회사가 먹고 산다. 그럼에도 불구하고 보험회사는 불법은 아니다. 왜냐하면 그 마지막 영업 사원 밑으로 또 누군가가 무한정 세팅이 되어야 하는 것은 아니기 때문이다. 또한 고객이 낸 돈을 보험회사가 사적으로 유용하지 않도록 금융감독원의 제재를 받는다.

 

그런데 이런 합법적인 테두리를 벗어난 불법 피라미드 영업이 있다. 계속 그에 따른 문제가 반복됨에도 불구하고 사람들이 또 당하는 이유는 그 만큼 설득력이 있는 부분이 있기 때문이다. 즉, 자신의 밑으로 누군가를 세팅하면 그 사람이 또 누군가를 데려오고, 그 다음에도 또 누군가를 데려오는 식으로 계속 자신의 밑에 자신을 위해 일하는 사람이 쌓여간다. 그리고 그렇게 쌓인 자신의 사람들이 벌어온 이득의 일부를 자신이 차지할 수 있다. 그래서 최대한 많은 사람을 유치하면 어느 순간 아무 일을 안 해도 놀고먹을 수 있게 된다. 하지만 등비수열과 확률의 기본 개념만 이해하면 이 피라미드 구조가 무한정 밑으로 뻗어나갈 수 없음을 금방 알 수 있다.

 

예를 들어 서울의 인구가 천만 명 정도이다. 이 책에서는 1200만 명이 사는 도시를 가정한다. 보통 불법 피라미드 업체에서는 회원을 네 명 내지 다섯 명만 모아오면 된다는 식으로 말한다. 이 책에서는 다섯 명을 기준으로 설명한다. 그럼 처음 그 업체 사람이 다섯 명을 모아올 수 있는 확률은 5/1200만명 이다. 이를 계산하면 0.00000041666이 된다. 그런데 그 다음 단계로 가면 5명이 5명씩으로 모집해서 25명이 되어야 하고, 최초에 데려온 5명까지 합치면 30명이 되어서 두 번째 단계에서 다섯 명을 데려올 수 있는 확률은 30/1200만=0.0000025 이 된다. 이런 식으로 9 단계 정도에 이르면 그 확률은 그 확률은 0.04 정도까지 급격하게 올라간다. 결국 회원이 쌓이면 쌓일수록 그 밑으로 들어가는 사람들은 결코 추가 회원을 모을 수 없고 더 돈을 벌 수 없게 되는 것이다. 그 만큼 본인의 돈을 내고 자신의 위에 있는 사람들에게 기부하는 꼴이 된다. 그런데 최초로 불법 피라미드 업체를 만드는 사람들은 이 부분을 잘 알고 있다. 따라서 거의 마지막 단계에 이를 때쯤이 되면 그 동안 회원들이 낸 돈을 가지고 잠적한다. 회원들이 나중에 현실을 알고 환불을 요청하거나 항의를 할 것을 알기 때문이다.

 

그런데 지금도 이러한 불법 피라미드 사기가 계속되는 이유는 기본 방식은 같지만 그 아이템이 바뀌기 때문도 있는 것 같다. 예전에는 생활용품 피라미드 회사가 많았다. 그런데 지금은 통신 피라미드 회사, 여행 피라미드 회사, 금융 투자 피라미드 회사, 운동 기구나 치료 기구 피라미드 회사 등등 종류가 다양하다. 그 만큼 사람들을 현혹시킬 수 있는 여지는 계속 늘어나는 것이다. 언젠가는 AI 로봇과 관련한 불법 피라미드 회사도 생겨날 것이다. 그 만큼 향후에도 이와 관련한 피해들은 늘어날 것이기에 기본적인 수학 지식을 통해 명확한 현실을 이해할 수 있는 힘을 키울 필요가 있다.

 

 

3. 홈런과 운동 에너지

수학은 싫어해도 스포츠를 싫어하는 사람들은 별로 없다. 그런데 많은 스포츠들의 이면에는 과학과 수학이 있다. 특히나 데이터 분석에 있어서는 수학 지식이 큰 역할을 한다. 스포츠를 즐기는 일반인들도 수학적 지식을 바탕으로 스포츠를 관전하면 더 많은 것을 알 수 있다. 가장 대표적인 예로 이 책에서는 야구에서 홈런의 비거리, 즉 공이 날아가는 거리에 미치는 요인들에 대한 설명이 나온다. 가끔 야구 관련 기사들을 보면 선수들이 배트 중량을 바꿨다는 내용을 본다. 또한 타자가 대기 타석에 있을 때 무거운 배트를 휘두르다가 본 타석에 들어갈 때에는 그것 보다 가벼운 자신의 원래 배트를 가지고 들어가는 것을 볼 수 있다. 이 부분을 보면 수학을 몰라도 배트의 무게와 배트를 돌리는 속도가 분명 비거리에 큰 영향을 준다는 것을 알 수 있다.

 

그런데 이를 수학적으로 도식화하면 더 명확하게 모든 것을 이해할 수 있다. 운동 에너지 법칙은 ‘K=(1/2)mv^2’로 표현된다. 여기서 K는 운동에너지, m은 물체의 질량, v는 속도에 해당한다. 이를 해석하면 운동 에너지는 물체의 질량은 m에 비례하고 속도 v의 제곱에도 비례하는 것을 알 수 있다. 결국 무거운 배트를 사용하거나 배트 스피드를 빠르게 하면 운동 에너지를 늘려서 더 멀리 공을 보낼 수 있다. 그런데 무조건 배트의 무게만 높이면 속도가 떨어지고, 그렇다고 무한정 속도를 높이는 것도 한계가 있기 때문에 적절한 배트의 무게와 선수의 능력에 맞는 배트 스피드가 필요하다. 더불어 추가로 중요한 것은 바로 제대로 운동 에너지가 전달될 수 있는 최적점, 바로 스윗 스팟에 공을 맞춰야 한다. 이 세 가지가 조화를 이룬 타자가 최고의 타자가 되는 것이다.

 

이처럼 대충 아는 것도 수학적 도식으로 풀어보면 훨씬 정확하게 상황을 이해할 수 있다. 이는 단지 스포츠 분야에만 해당하는 것이 아니다. 경제 분야든 건축이나 기계 분야, 또는 자동차 운전이나 스키를 타는 것 등 거의 대부분의 것들을 수학적으로 설명하고 자세하게 이해할 수 있다. 그래서 수학이 없어도 사는데 큰 지장은 없을 수 있지만 수학을 알면 삶은 더 다채로워지고 구체적이 된다.

 

 

4. 어려운 수학 연구는 필요한가

‘어려운 수학 연구는 필요한가’ 라는 질문에 대해서 반대 주장을 펼치기는 힘들다. 수포자들 마저도 수학이 이 세상에 필요없는 학문이라고는 절대 생각하지 않는다. 이 책에서도 많은 기초 과학 뿐만 아니라 첨단 응용 과학에서도 수학 공식과 법칙들이 사용되고 있음을 보여준다. 예를 들어 우리에게 너무나 익숙한 바코드는 2진법을 바탕으로 간단하게 상품의 많은 정보를 표시하고, 베르누이 정리는 비행기가 날 수 있는 조건을 계산하게 해 줬으며, 로그 공식은 지진의 규모를 측정하는 매그니튜드 사용에 적용됐다. 그런데 이렇게 실생활에 이미 적용이 된 수학의 공식과 법칙은 일반 사람들이 보기에 신기하지만 수학 전공자들에게는 큰 흥미를 끌지 못한다.

 

그들이 관심을 많이 갖는 건 역시나 미해결 난제이다. 예를 들어 ‘존재하지 않음’을 증명하는 페르마의 정리는 17세기부터 수학자들의 관심을 끌기 시작했지만 20세기 말에서야 비로소 증명이 되었다. 그런데 그렇게 긴 시간을 수많은 수학자가 수많은 시간을 쏟아부었음에도 불구하고 정작 활용할 수 있는 분야가 거의 없다고 한다. 다만 이 수학의 난제를 해결하기 위한 과정 중에 ‘대수기하학’, ‘타원 곡선’ 등의 분야가 발전했다. 그래서 미해결 난제에 도전하는 그 자체가 수학 발전에 기여를 하고, 그 과정에서 발전된 수학 지식들은 또 다른 유용함을 이 사회에 제공한다. 그래서 결과적으로 어려운 수학 연구는 필요하다고 할 수 있다.

 

 

5. 맺음말

이 책에는 위의 내용 말고도 수학이 태동하고 발전하게 된 역사적 배경에 대한 설명도 잘 되어 있다. 또한 오층탑의 지붕을 똑같이 나누거나 사방으로 뻗은 서까래를 설치하기 위해 세제곱근 공식이 탄생했다는 부분은 새롭게 알게 된 사실이었다. 그리고 더 신기했던 것은 우리가 ‘파이’라고 알고 있고 당연히 서양에서 발견한 것이라 생각한 원주율이 사실은 동양에서 500년 전에 먼저 구해졌다고 한다. 더불어 적정 가격을 정할 때 사용하는 기하 평균과 조화 평균에 대한 설명에 있어서는, 그 방법이 발견된 것이 우리가 일반적으로 아는 그런 수학적 논증을 통해서가 아니라 실제 경험을 통해서 발견되었다는 설명이 나온다. 그 만큼 수학은 단순히 책상에서만 증명되고 발전하는 것은 아니라는 것을 알 수 있었다. 그럼에도 불구하고 여전히 수학을 생각하면 머리가 아프다. 이 책을 통해서 수학의 수많은 적용 범위를 알 수 있었지만 그래도 그냥 일반적인 생활 속에서는 멀게만 느껴지는 것 같다. 다만 이렇게라도 교양 수준의 책을 통해서 수학의 흐름을 이해하고 있는 것만으로도 충분히 큰 도움은 되는 것 같다.