수학이 필요한 순간, 김민형, 독후감, 감상문, 줄거리, 요약

 

수학이 필요한 순간

한국인 최초 옥스퍼드 대학 정교수이자 세계적인 수학자 김민형 교수의 명강의 『수학이 필요한 순간』. 인간의 사고 능력을 확장시켜온 수학이라는 장대한 세계에 관한 7개의 명강의를 담은 책이다. 옥스퍼드 수학과의 명강의를 포함하여 저자가 한국에서 진행한 각종 수학 강의의 내용을 바탕으로 탄생한 것으로, 마치 강연의 현장에 찾아온 듯 수학에 대해 묻고 답하는 세밀한 대화로 가득하다. 우리가 인문학의 문제라 여겼던 윤리적 판단에서부터 우주의 무한한 세계에 이르기까지 인간이 세상을 이해하는 데 수학이 필요하지 않은 순간이란 없다. 저자는 기본적인 수학의 원리부터 정보와 우주에 대한 이해, 윤리적인 판단이나 이성과의 만남 같은 사회문화적인 주제에 이르기까지 수학이라는 방대한 세계에 대해 평생을 걸쳐 탐구해온 주제를 녹여 우리에게 보여준다. 세상 모든 순간을 이해하는 데 바탕이 되는 수학적 사고의 정수를 담은 이 책을 통해 우리에게 수학적으로 세상을 바라보는 기쁨, 깊고 넓은 시야로 세상을 읽어내는 그 순수한 지적 즐거움을 만끽할 수 있게 한다.

저자

김민형

출판

인플루엔셜

출판일

2018.08.03

 

1. 들어가는 말

보통의 사람들은 일단 ‘수학’이라는 단어만 들어가면 주춤하는 마음이 들기 마련이다. 특히 대단한 업적을 남긴 수학자가 쓴 책이라고 하면 당연히 어려울 것이라는 선입견 또한 있다. 이 책의 저자도 긴 시간 동안 수학사에서 어려운 난제로 꼽힌 문제를 해결한 사람이다. 게다가 그가 걸어온 학문의 길은 화려하기만 하다. 그런 만큼 이 책을 보기 전에는 심리적으로 위축될 수밖에 없다. 하지만 책의 초반부를 읽다보면 이 책의 저자가 딱딱한 느낌의 수학자가 아닌 상당히 친근한 옆집 아저씨 같다는 생각이 든다. 그렇게 편안하면서도 자연스러우면서도 쉽게 쓱 수학의 세계에 빠져들게 한다.

 

저자는 수학도 인류가 발명한 여타의 것들과 마찬가지로 인류 문화유산 중 하나이고, 과거에는 사칙연산 마저도 전문가들의 영역이었다고 말한다. 그러고 보면 수학이 철학의 한 분과였고, 복잡하게 머리쓰는 사람들의 전유물이었던 것을 가만하면 지금 우리가 수학을 어렵게 느끼기는 해도 과거의 그들 만큼의 수학에 대한 이해력은 있는 것 같다. 그만큼 수학을 연구하는 최정점의 사람들은 여전히 수학의 난제로 고뇌하고 있지만, 또 그들이 고뇌하는 만큼 대중들은 조금씩이라도 수학의 세계에 빠져들고 있고 나름에서 성장하고 있는 것 같다. 이 책은 어려운 부분도 있다. 하지만 기본적인 수학 개념을 알고 있고 일상을 남들처럼 살아가고 있다면 저자가 말하는 의도를 이해함에 무리가 없다. 오히려 이 책을 보면서 다시 한 번 수학을 공부하고 싶게 만드는 마력이 있다.

 

2. 역사를 바꾼 수학적 발견

수학은 오랜 역사를 지녔지만 그 긴 역사에 비해서 비약적인 발전을 한 시기는 생각보다 길지 않음을 알 수 있다. 그 시기는 17세기 과학혁명의 시대인데, 과학의 수학화가 시작된 시기이기도 하다. 이 책에서는 수학이 비약적으로 발전할 수 있었던 계기가 되는 세 가지 발견을 말한다.

 

첫째, 페르마의 원리이다. 페르마는 물속을 통과하는 빛이 굴절을 일의는데, 그 굴절은 이동의 시간을 최소화하는 경로로 진행한다는 것을 발견했다. 이를 ‘최적화 원리’라고 명명했다. 이 내용을 보면서 자연의 현상이라는 게, 나름의 의도나 목적을 가지고 움직인다고 생각할 수도 있겠다는 느낌이 들었다. 그러고 보면, 자연은 따로 누가 지시하지 않는다고 해도 나름의 균형을 찾아가는 것 같다. 예를 들어 동물들도 개체수가 급격히 늘어났다가도 먹을 것이 줄어들면 자연스럽게 개체수가 조절이 된다. 또한 태양계 내의 행성들도 처음 생성의 과정에서는 복잡하게 충돌도 하고 변화가 생기기도 했지만 긴 시간이 흘러 나름의 움직임 궤도를 형성하고 안정화를 이루었다. 이처럼 비단 빛이 아니어도 세상은 무언가 최적의 상황으로 균형을 이루기 위해 나아감을 알 수 있다. 그런데 저자가 강조하는 것은, 우리가 본능적으로 아는 이러한 부분에 대해 구체적으로 수치화 하여 수학적으로 명확하게 보여주려는 시도들이 시작됐다는 것이다.

 

두 번째는 뉴턴의 프린키피아이다. 뉴턴은 고전 역학의 초석을 세운 사람이고, 그간 흩어져 있던 여러 수학적 원리와 방법들을 체계적으로 엮어낸 사람이다. 뉴턴은 어떤 물체에 힘을 가하면 그 물체가 움직이고, 계속 힘을 가하면 속도가 바뀌는데, 이를 속도가 바뀌는 양인 가속도로 표현하는 단계로 확장해 나가는 방식으로 많은 법칙들을 발견해 냈다. 또한 이 책에서는 뉴턴의 프린키피아가 유클리드의 영향을 받아서, 말로 하는 직관적인 과학과 체계적인 이론으로 만들어내는 과학 사이에 결정적인 차이를 만들어냈기에 의미가 있다고 평가한다. 그런데 이러한 뉴턴의 업적보다 더 놀란 것은, 뉴턴의 업적이 온전히 모두 그의 것이 아니라는 것이었다. 즉, 뉴턴 이전의 사람들과 뉴턴의 동시대에 있던 사람들의 수학 업적들이 켜켜이 쌓인 뒤에 뉴턴에 의해서 정리되고 꽃이 피게 됐다. 따라서 우리는 큰 업적을 이룬 한 사람만을 기억함과 더불어 그 업적이 있게 한 다른 사람들도 함께 기억할 필요가 있겠다는 생각을 했다.

 

저자는 과학에서는 답을 주는 것뿐 아니라 그 답의 부족한 부분도 굉장히 중요하다고 말한다. 어떤 종류의 질문에 대한 명료한 답을 찾는 것도 중요하지만, 반면 굉장히 새로운 질문을 끄집어내고 난해한 문제를 점차 해결할 수 있는 실마리를 찾아내는 과정도 중요하다는 것이다. 그리고 그 과정에서 오랫동안 많은 사람들이 개념을 정립하고 실험을 하는 등의 기여를 하게 되는 것이다.

 

세 번째 역사를 바꾼 수학의 발견은 데카르트에 의해서이다. 데카르트에 대해 우리는 ‘나는 생각한다, 고로 존재한다.’라는 그의 명언 때문에 철학자로 알고 있다. 이 구절이 쓰여진 책인 방법서설도 철학책으로 분류된다. 그런데 그 책의 부록 중에는 ‘기하학’이라는 부문이 있고 여기의 내용 중에 좌표에 대한 설명이 있다. 평면상의 점을 설명하기 위해 X축과 Y축을 만들고 표시하는 바로 그 좌표이다. 그런데 이 좌표에 대한 개념이 바로 수학의 역사에서 큰 발견이 된다고 저자는 설명한다.

 

이를 통해 기하학을 대수적인 방법, 즉 언어로 명료하게 표현할 수 있는 개념적 틀이 나왔다. 그리고 데카르트의 좌표 이론은 뉴턴 이론과 합쳐져 행성처럼 움직이는 물체의 궤적을 완벽하게 나타낼 수 있게 되었고, 그 행성이 1년 후에 어디 있을 것인지도 예측하게 만들었다. 심지어 아인슈타인의 상대성 이론도 페르마와 데카르트의 좌표계 이론이 없었다면 불가능했을 것이라 한다.

 

저자가 말한 역사를 바꾼 세 가지 수학적 발견을 보면서 어떤 문제를 푸는 것보다 어떤 것을 문제로 먼저 인식하고 적절한 질문을 던지는 게 우선이라는 생각이 들었다. 일단 의미있는 질문을 던지고 나면, 그 질문을 한 사람이 문제를 풀지 않아도 많은 사람들이 그 문제를 풀기 위해 매달리고 결국에는 그 문제를 품과 동시에 다시 또 새로운 의미있는 질문을 던질 수 있게 되는 것 같다. 그리고 그 과정이 계속 이어지는 게 수학의 발전일 것이고 그 발전의 과정은 어쩌면 영원히 끝나지 않을 것이다.

 

 

3. 선과 악은 얼마나 확률적인가

저자는 3강 ‘확률론의 선과 악’에서 확률의 기원과 확률이 윤리적 문제에도 어떻게 적용이 되는지를 설명한다. 확률은 프란체스코회의 수도승이었던 ‘루카 파치올리’가 도박과 관련한 문제에 의문을 품으면서 시작되었다고 한다. 그런데 확률에서도 어김없이 바로 어떤 문제를 인지하고 그것을 풀어낸 것이 아니었다. ‘루카 파치올리’는 적당한 문제를 제시했고, 그 문제를 해결하기 위해 뒤이은 많은 수학자들이 노력하는 과정 속에서 확률이 탄생하게 된다. 그리고 결정적으로 확률 이론의 시작에 기여한 사람은 파스칼과 페르마였다. 이 두 사람은 ‘루카 파치올리’가 던진 문제를 해결하기 위해 여러 번의 편지를 교환했고, 그 과정에서 경우의 수를 고려하는 방법론, 기댓값이라는 개념 등의 확률에서 기본 바탕을 만들게 된다. 그리고 이 확률 이론은 그들이 의도했든 의도하지 않았든 후대 과학 발전과 철학적 문제, 그리고 나아가 이 모든 것을 아우르는 인공지능에 까지 영향을 끼치게 된다.

 

예를 들어 양자역학의 개념에서 보면 어떤 존재라는 것은 확률적으로밖에 존재하지 않는다고 말한다. 이는 결국 인간의 존재 또한 확률의 문제라는 것으로 나아가게 된다. 더불어 ‘트롤리 문제’라고 부르는 철학의 한 문제에까지 적용이 된다. 이 문제는 망가진 전동차가 언덕길에서 내려올 때 진로를 바꾸지 않고 차 안의 5명이 죽게 내버려두든가, 아니면 진로를 바꿔서 4명의 보행자를 죽여야 하는가라는 문제를 철학적으로 다룬다. 그런데 철학에서 중요한 문제로 다뤄졌던 이 트롤리 문제를 지금은 자율주행 자동차를 만드는 데 고려해야 하는 상황이 되었다. 윤리라는 형이상학적 문제를 구조화, 모델화하여 알고리즘으로 만들어내고 있다는 것이다. 이는 향후 자율주행 자동차 뿐만 아니라 인간이 해야 할 결정을 대신 해야 하는 모든 인공지능에 적용이 될 것으로 보인다. 더불어 선악의 문제는 단순한 절대적 윤리의 가치가 정해져서 적용되는 것이 아니라 철저히 확률적 관점에서 접근하게 될 것이다.

 

그래서 이러한 흐름에 대해 저자는 수학적으로 사고하는 게 오히려 도덕적으로 그릇된 답을 피할 수 있기도 하다고 말한다. 또한 확률론은 선한가, 악한가의 질문에서 선하고 악한 것은 얼마나 확률적인가의 질문으로 가야 한다고 주장한다. 왜냐하면 선하다고 결정한 것도 악한 결과를 가지고 올 확률이 있고, 악하다고 생각하는 것들도 약간의 선한 효과가 있을 수 있기 때문이다.

 

저자가 제시한 여러 증거와 그에 대한 주장들을 보면서, 우리가 당연히 안다고 생각했던 것들이 사실은 세부적으로 들어가면 전혀 알지 못하는 혼돈의 세계임을 알 수 있었다. 더불어 그러한 선악이 혼재된 혼돈의 세계에서라면 어설프게 인간의 사적인 감정이나 직관에 의지하기보다는 차라리 객관적 확률론에 의지하여 결정하는 게 더 나을 수도 있어 보였다. 하지만 그렇게 인간이 할 수 있는 결정을 수학적 이론을 바탕으로 한 기계가 대신하게 될 때, 인간의 존재 이유는 서서히 사라질 수 있고 인간의 사고력은 퇴화할 것이라는 생각도 들었다.

 

 

4. 수학적 관점으로 본 세상

4강 ‘답이 없어도 좋다’에서는 다양한 선거법이 나온다. 우리는 보통 우리나라 대통령 선거나 여타의 다른 선거에 적용되는 기본적인 선거법만 알고 있다. 그리고 그렇게 다수결의 법칙으로 선거를 하는 방식이 크게 오류가 있을 것으로 보지 않고, 당연히 많은 사람들의 의견을 대변하는 것이라 생각한다. 하지만 저자가 소개하는 수학자들이 생각한 다양한 선거법과 그에 대한 장단점들을 보면서 우리의 일반적 생각이 얼마나 틀릴 수 있는지 알게 되었다. 게다가 그 어떤 선거법도 완전하게 많은 사람들의 의견을 정확하게 대변할 수 없음도 알게 되었다. 하지만 또 절대적으로 맞는 선거법이 없다고 해도, 거기서부터 시작하여 그나마 문제가 적은 선거법을 개발해 나가는 것이 우리가 할 일이라는 저자의 주장을 보면서 이제는 서서히 수학이라는 게 절대적 답을 구하는 것만이 목표가 아니라는 것에 공감해 가게 되었다.

 

젖는 수학사에는 틀린 증명과 틀린 정리가 굉장히 많다고 말한다. 그런데 오히려 그 수많은 실패가 현상을 이해하게 하는 데 더 큰 도움을 주곤 한다는 점을 강조한다. 왜냐하면 우리에게 주어진 제약이 무엇인가를 확인하게 하기 때문이다. 막연하게 어떤 한계를 느끼는 것보다 객관적으로 명확하게 한계를 알게 될 때, 또 그 다음으로 나아갈 수 있는 것이다.

 

5강 ‘답이 있을 때, 찾을 수 있는가’ 라는 장에서는 중매쟁이의 입장이 되어 결혼상대를 매칭시키는 방법론을 이야기한다. 이는 단순히 우리 일상에서 보는 중매쟁이를 대변하는 듯 하지만, 사실은 인간의 어떤 선택과 조화와 관련한 모든 문제에 적용이 되는 것이다. 여기에서 저자가 강조하는 것은 과학은 복잡한 요소들을 단순화해서 더 정밀하게 생각할 수 있는 방법을 마련해준다는 것이다. 문제를 단순화한 다음, 더 복잡한 모델이나 강력한 요구 조건을 만들며 개선점을 찾아나가는 것이 바로 과학이 하는 일이라 주장한다. 그런데 이 내용을 보면서, 지금도 여러 남녀의 매칭 앱이 있지만 향후에는 이 매칭 앱이 더욱 발전하여 단순히 사주로 궁합을 보는 것이나 아는 사람이 대략적 느낌으로 서로를 소개시켜 주는 것 등을 모두 대체하고도 남겠다는 생각이 들었다. 또한 이는 남녀의 관계를 넘어 자기 자신을 알아가는 것에 있어서도 수학적 알고리즘을 바탕으로 한 인공지능이 훨씬 뛰어날 수 있게 될 것이라 생각한다. 그렇다면 프로그램에 의해 판단되고 결정되는 인간 사회가 진정 인간 사회라 할 수 있을지 의문이 든다.

 

6강 ‘우주의 실체, 모양과 위상과 계산’에서는 위상수학에 대한 설명으로 시작한다. 위상수학이라는 것은 거시적인 기하라고 말한다. 그런데 이 장에서 의미있는 것은 우주의 실체가 대수적이냐 기하적이냐에 관한 것이다. 우리는 피상적으로 어떤 물체를 있는 그대로 인식하는 것처럼 느끼지만 실제에서는 그 물체를 인식하기까지 수많은 뇌세포에서의 계산이 이루어지고 있다. 이는 단순히 우리 인식의 문제를 넘어서서 이 세상의 근본을 어떻게 보느냐의 문제로 나아가게 된다. 그런데 여럿의 수학자들은, 기하라는 것은 대수를 표현하는 통계적 현상이고, 근본적인 우주의 실체는 대수적일 것이라 주장한다. 우리는 우리가 어떤 물체를 눈으로 바로 받아들이는 것만 생각하기 때문에 모양이 먼저라 느끼지만 사실 그 모양이라는 것도 결국은 대수적 조합의 결과물이라는 것이다. 예를 들어 우리가 아는 원도 그 근본에는 ‘x^2+y^2=1’라는 대수적 조건이 있다. 이 내용을 보면서, 옛날 그리스 시대의 철학자이자 수학자였던 피타고라스가 이 세상은 ‘수’로 이루어져 있다고 주장했다는 것에 대해 말도 안 되는 소리라고 생각했던 것이 떠올랐다. 하지만 이제는 이 세상이 수로 이루어졌다고 할 수도 있겠다는 생각이 들었다. 우리가 아직 이 세상의 원리를 다 알지는 못하지만, 우리가 알아가는 것들을 하나씩 수학적 사고로 명확하게 이해해 나가는 것을 보면, 결국 이 세상의 근본은 ‘수’일 수도 있다는 것이다.

 

 

5. 맺음말

저자는 수학적으로 사고한다는 것은 우리가 무엇을 모르는지 정확하게 질문을 던지고, 우리가 어떤 종류의 해결점을 원하고 있는지 파악하고, 그에 필요한 정확한 프레임워크와 개념적 도구를 만들어가는 과정이라고 할 수 있을 것이라고 말한다. 수학은 정답을 찾는 것만을 목표로 하는 게 아니라, 인간이 답을 찾아가는데 필요한 명료한 과정을 만드는 일이라는 것이다.

 

또한 저자는 책의 서두에 수학이란 추상적인 개념적 도구를 사용해 세상을 체계적으로, 또 정밀하게 설명하려는 의도를 가진 학문이라고 했다. 그러고 보면 TV의 화질이 개선될수록 연예인들이 피부 관리에 더 신경을 쓰게 된다는 말을 들은 적이 있다. 그만큼 TV가 사람과 세상을 더욱 선명하게 드러낸다는 것이다. 그리고 그러한 기술 개발의 이면에는 수학이 있다. 그래서 수학의 발전이 더욱 세밀해질수록 TV가 세상을 선명하게 드러내는 것 만큼이나 세상에 대한 이해를 더욱 선명하게 할 것이라는 생각이 든다. 그리고 이 책의 저자처럼 수학에 대한 이해도가 최고 정점에 이른 사람이 대중과 소통하기 위해 노력하는 만큼, 대중들도 조금씩 수학에 대한 이해력이 높아질 것이고, 대중의 수학에 대한 평균적 이해도가 상승하는 만큼, 또 그만큼의 세상에 대한 이해도 또한 상승할 것이라 생각한다.