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수학 귀신

전 세계에서 20년 넘게 사랑받은 수학책의 고전이자 청소년을 위한 최고의 수학 소설로 손꼽히는 『수학 귀신』. 독일을 대표하는 지성 한스 마그누스 엔첸스베르거가 열 살배기 딸을 위해 쓰고, 한스 크리스티안 안데르센 상 수상 작가 로트라우트 수잔네 베르너가 그린 책으로, 국내 출판 100쇄를 기념하여 새로운 판형과 장정으로 표지 디자인과 본문 편집을 깔끔하게 단장하고, 찾아보기에 수학 용어 설명을 추가하여 보기 좋게 정비하였다. 로베르트는 열두 번의 밤 동안 수학 귀신을 만나서 신기한 수학 현상들을 경험한다. 사실 로베르트는 수학이라면 질색이고, 수학 선생님인 보켈 박사도 썩 좋아하지 않는 아이다. 하지만 수학 귀신은 로베르트의 꿈에 나타나 마법처럼 재미있는 수학을 알려 준다. 자연수와 실수, 무리수 같은 기본 개념에서부터 고등학교 수학 수준의 무한급수, 위상 수학의 기초가 되는 오일러의 법칙까지 수학의 중요한 주제들이 두루 다루어진다. 한편 열두 번째 밤에 수학 지옥 혹은 수학 천국에 초대받은 로베르트는 수학 귀신 테플로탁슬을 따라 러셀, 클라인, 칸토어, 오일러, 가우스, 피보나치, 피타고라스, 파스칼, 칸토어 같은 유명한 수학 귀신 즉 역사적인 수학자들을 직접 만난다. 로베르트는 수학 귀신이 그렇게나 많고 여자는 예닐곱 명뿐이라는 사실에 놀라는데, 수학 귀신이 예전에는 수학이 남자들이 하는 일이라고 생각했지만 이제는 달라질 거라며 의문을 풀어 준다. 그리고 로베르트는 또 다른 수학 귀신에게서 귀한 선물을 받게 된다.

저자

한스 마그누스 엔첸스베르거

출판

비룡소

출판일

2019.08.01

 

1. 들어가는 말

수학은 어렵다. 그래서 수학을 포기하는 학생이 학년이 거듭될수록 늘어난다. 그런데 수학은 중요하다. 그래서 교육과정에서 수학을 뺄 수가 없다. 그래서 자구책으로 생각한 것이 바로 수학에 대한 다른 접근방식을 이야기하는 책들이다. 이러한 책들은 수학의 원리를 알면 수학이라는 것이 그렇게 어렵지 않다는 것을 보여주는 것이 목적이다. 하지만 그렇게 다른 접근방식으로 수학의 원리를 설명해도 완전히 수학이 편해지는 것은 아닌 것 같다. 여전히 우리는 새롭게 학교 교과 과정에 맞는 수학을 배워야 하고, 그것은 이러한 책들에서 본 내용과는 원리는 같겠지만 접근방식은 틀린 경우가 많기 때문이다. 그럼에도 불구하고 <수학귀신>과 같은 책을 보면 학교에서 배우지 않았던 새로운 수학의 모습을 볼 수 있게 된다. 이를 통하여 수학이라는 세계가 단지 학교에서 배우는 정도에 머무는 것이 아니라 훨씬 더 광대함을 깨닫게 된다. 물론 그 과정에서 조금은 더 수학이라는 것에 관심을 가질 수 있는 계기도 되는 것 같다.

 

 

2. 줄거리 및 감상

이 책에 나오는 주인공도 우리와 같이 수학이 어렵고 수학이 싫은 친구이다. 그래서 이 책의 주인공은 로베르트는 항상 수학 때문에 나쁜 꿈에 시달린다. 그러던 어느 날 꿈에 수학귀신이 나타난다. 그리고 자연스럽게 로베르트에서 수학에 대한 다른 접근방식을 보여주면서 서서히 흥미를 느끼게 만든다. 총 11일의 밤 동안 여러 수학적 원리와 새로운 문제 풀이 방식들을 알려주고 마지막 12일의 밤에는 많은 유명한 과거의 수학자들이 참석하는 만찬장에 데리고 간다.

 

첫 번째 밤에는 수학 귀신이 주인공에게 숫자 1에 대한 소개를 한다. 그리고 수학은 쉬운 원리를 바탕으로 한다는 것을 알려주면서 1111곱하기 1111은 1234321이라는 것에 대해서도 설명을 한다. 이에 주인공은 뜬금없이 11111111111곱하기11111111111의 답을 수학 귀신에게 물어본다. 그런데 수학귀신은 갑작스럽게 커진 숫자에 당황하면서 답을 내지 못하고 둘은 티격태격 하기도 한다. 이 내용을 보면서 수학은 원리를 알면 쉽지만, 그 원리를 알아도 계산해야 하는 숫자가 커지면 시간이 걸리고 어느 정도는 더 어렵다는 것을 알 수 있었다.

 

두 번째 밤에는 1로 가득한 숲에서 수학 귀신을 만난다. 이에 주인공은 왜 0은 없는지 수학 귀신에게 물어본다. 이에 수학귀신은 0이라는 것은 인간이 만들어 낸 마지막 숫자라는 설명을 해 준다. 그래서 로마 숫자에는 0이 없다고 한다. 여기에 덧붙여 수학 귀신은 음수의 개념과 거듭제곱에 대한 설명도 한다. 특히 거듭제곱을 ‘깡충뛰기’라고 표현한 대목은 흥미있었다. 그리고 우리는 지금 0이라는 숫자에 대해서 당연하게 받아들이지만 그 0이 탄생하기까지는 정말 오랜 시간과 고민이 있었다는 것을 알 수 있었다. 결국 우리가 지금 배우는 수학은 오랜 인류 역사의 산물이고, 그런 오랜 시간이 축적되어 만들어진 것이기 때문에 짧은 시간에 우리가 제대로 배우려고 하는 게 쉽지 않은 것은 당연하다는 생각이 들었다.

 

세 번째 밤에는 수학 귀신이 소수에 대해서 설명한다. 소수는 1과 자기 자신과 같은 숫자로만 나눴을 때 나머지가 0인 숫자를 말한다. 이 표현만 들으면 크게 특별할 것이 없는 것 같았는데, 실제로 무한대로 뻗어나가는 숫자 중에서 이 소수에 해당하는 숫자는 드문드문 나타난다는 것을 알 수 있었다. 물론 소수도 결국은 끝없이 나아가지만 말이다. 또한 수학 귀신은 1보다 큰 숫자를 하나 정해서 그것을 2배한 수를 만들면, 처음 정한 수와 2배한 수 사이에는 무조건 1개 이상의 소수가 존재한다는 설명도 한다. 결국 불규칙하게 나타나는 것처럼 보이는 소수도 잘 살펴보면 어느 정도의 규칙성을 가지고 등장하는 것을 알 수 있다. 이러한 원리를 발견한 사람도 대단하다는 생각이 들었다. 그 만큼 수학에 대한 관심과 흥미가 컸기 때문일 것이다.

 

네 번째 밤에는 수학 귀신인 순환소수와 제곱근에 대해서 설명한다. 1나누기 3은 0. 3333...... 으로 끝없이 이어지고 0.999999....는 결국 1과 같은 것이 된다고 말한다. 또한 2의 제곱근을 구하면 1.41421....의 식으로 아무런 규칙성이 없이 무한적으로 뻗어나가는 것도 알려준다. 이처럼 무한대로 나가는 수는 같은 숫자가 쭉 나가는 것도 있고, 다른 숫자가 쭉 나가는 것도 있다는 것이다. 같은 숫자가 반복되는 것은 순환소수, 다른 숫자가 반복되는 것은 무리수가 된다. 여기서 좀 더 나아가 정사각형에서 대각선을 그린 후 각변의 길이가 1이라고 하면 그 대각선의 길이는 2의 제곱근이 된다는 설명을 한다. 즉, 그 대각선의 길이는 우리가 일반적으로 사용하는 잣대로는 정확하게 측정할 수 없는 무리수가 되는 것이다. 이를 통해 볼 때 우리 눈에는 같아 보이거나 비슷해 보이는 것도 좀 더 세밀한 관찰의 눈으로 보면 아주 미세하게 틀릴 수 있다는 것을 알 수 있었다.

 

다섯 번째 밤에는 수학귀신이 야자수 열매로 삼각형 숫자를 알려준다. 여기서는 특히 1에서 12까지 더하는 방법을 설명하는데 첫 줄에는 1에서 6까지 쓰고 6 밑으로는 거꾸로 7에서 12까지 쓴 후 세로로 위와 아래를 더하면 모두 13이 되고, 이것이 총 6개가 있기 때문에 13곱하기 6을 하면 바로 78이라는 정답을 구할 수 있다는 것을 설명한다. 이처럼 같은 계산을 하는 데에 있어서도 그 원리를 알면 훨씬 더 쉽게 답을 구할 수 있음을 알 수 있었다.

 

여섯 번째 밤에는 갈색과 흰색 토끼가 새끼를 낳는 과정을 설명하면서 피보나치 수에 대해서 알려준다. 이 피보나치 숫자는 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... 의 식으로 계속 나아가는데 단계를 거듭할수록 기하급수적으로 늘어나게 된다. 물론 공식이 있기 때문에 언뜻 보기에는 불규칙적인 숫자의 배열인 것 같지만 그 속에는 명확한 규칙이 숨어있다. 어쨌든 이러한 원리로 토끼들은 갑작스럽게 엄청난 숫자로 불어날 수 있음을 알 수 있다. 특히나 이 피보나치 수의 나열은 자연계의 많은 곳에서 보이는 규칙성이라는 것을 보면서 수학이 단순히 머리로만 하는 것이 아니라 실제 자연에도 적용이 된다는 것을 깨닫게 되었다.

 

일곱 번째 밤에는 파스칼의 삼각형에 대해서 설명한다. 맨 위에 꼭지점부터 1행은 1, 2행은 1과 1, 3행은 1과 2와 1, 4행은 1과 3과 3과 1 등으로 각 행의 두 숫자가 더해져서 다음 행의 가운데 숫자를 만들어 나간다. 이렇게 하면 그 삼각형 안에 피보나치 수열들이 서서히 행을 거듭할수록 나열되어 간다. 또한 중간에는 5의 배수들이 역삼각형 모양을 배치되게 된다. 이처럼 삼각형 하나로도 여러 숫자의 규칙적 나열을 만들어낼 수 있다는 것이 놀라웠다.

 

여덟 번째 밤에는 수학 귀신이 팩토리얼과 경우의 수에 대해서 알려준다. 팩토리얼에 대해서 수학 귀신은 ‘쾅’이라는 표현을 쓴다. 즉, 3팩토리얼은 3곱하기 2곱하기 1 이고, 4팩토리얼은 4곱하기 3곱하기 2곱하기 1의 식으로 표현한다. 결국 어떤 숫자에 팩토리얼을 붙이면 그 숫자가 ‘쾅’하고 터지는 것처럼 곱해진다는 것이다. 또한 경우의 수에 대해서 설명하면서 두 명이 있으면 모든 경우의 수는 두 가지 이고, 세 명이 있으면 여섯 가지의 경우의 수가 있다고 말한다. 이는 바로 팩토리얼로 구해지는 것이다. 즉, 두 명이 있을 때 경우의 수는 2팩토리얼이 돼서 2곱하기 1은 2가 된다. 또한 세 명이 있으면 3팩토리얼이 돼서 3곱하기 2곱하기 1이 되어 6가지의 경우의 수가 생기는 것이다. 이처럼 수학은 어떤 규칙적인 숫자 계산이나 흐름에 대해서 기호를 만들고 좀 더 쉽고 간편하게 수학의 의미를 표현하면서 발전해 왔다는 것을 알 수 있었다.

 

아홉 번째 밤에는 수학 귀신이 자연수와 무한의 특징, 그리고 급수에 대해서 가르쳐준다. 앞서의 밤에서 배웠던 내용들의 복습이다. 급수라는 개념 속에는 자연수도 있고, 홀수도 있고, 수학 귀신이 근사한 수라고 표현한 소수도 있고, 피보나치 수, 파스칼의 삼각형 수, 깡총뛰기를 한 훗, 경우의 수 등이 있다고 설명한다. 이처럼 급수는 어떤 규칙성을 가지고 무한정으로 뻗어나가게 된다. 이처럼 무한으로 뻗어나가는 숫자들 속에서 우리가 어떤 규칙성을 발견하면 그것은 하나의 원리가 되고 우리의 실생활에 새로운 적용을 할 수 있는 여지가 생긴다. 이 부분을 보면서 숫자라는 것은 단순하면서도 단순하지 않다는 것을 알 수 있었다.

 

열 번째 밤에는 수학 귀신이 유클리드의 기하학에 대해서 설명한다. 여기서 평면 도형이 있을 때 꼭지점의 수 + 면의 수 - 선의 수는 무조건 1이 된다는 내용과 입체 도영이 있을 때 꼭지점의 수 + 면의 수 - 선의 수는 무조건 2가 된다는 공식을 알려준다. 이 내용을 보면서 수학은 불규칙적으로 보이는 것 속에서 어떤 규칙성을 찾아가는 끝없는 노력이라는 생각이 들었다. 그리고 그 노력이 행해지기 위해서는 관심과 흥미가 필수라는 생각을 다시 한 번 해 보았다.

 

열한 번째 밤에는 수학 귀신이 증명에 대해서 설명한다. 증명이라는 것은 우리가 당연하게 생각하는 것이 왜 당연할 수밖에 없는가를 설명하는 것이다. 예를 들어 우리는 1더하기 1이 당연히 2라는 것을 알고 있다. 하지만 여기서 우리는 ‘왜’라는 의문을 품지 않는다. 하지만 진정한 수학자는 이 1더하기 1이 2라는 단순한 계산이 왜 맞는지를 설명하기 위해서 엄청 복잡한 증명 과정을 생각한다. 이 1더하기 1은 2가 되는 원리를 증명한 사람은 바로 러셀경이었다고 한다. 이 내용을 보면서 이 세상의 당연한 것처럼 보이는 모든 것들이 사실은 당연한 것이 아니라는 생각이 들었다. 그것이 당연하게 받아들여질 수 있도록 끝없이 증명의 과정을 연구했던 수학자나 과학자들이 있었기 때문에 지금 우리에게 당연하게 받아들여지고 있는 것이다.

 

열두 번째 밤에는 수학 귀신이 주인공을 수학 천국으로 데리고 가서 만찬에 참여시킨다. 여기서 주인공은 상상 속에만 있는 숫자인 허수에 대해서 이야기를 듣고, 클라인 병에 대해서도 배운다. 그리고 여러 유명한 수학자들을 만나서 이야기한다.

 

이렇게 여러 밤 동안 수학 귀신을 통해 수학의 원리를 배운 주인공은 학교에 돌아가서 수학에 흥미를 가지고 쉽게 문제를 푸는 것으로 이야기가 끝난다.

 

 

3. 맺음말

이 책을 보면서 마지막 장면은 조금 말이 안 된다는 생각이 들었다. 12일의 밤 동안에 배운 정도로 학교에서의 수학이 쉬워지는 것은 현실적으로 불가능하기 때문이다. 하지만 이렇게 여러 가지 관점에서 수학의 원리를 보여줌으로써 분명 수학에 대해 좀 더 많은 생각을 할 수 있었던 것 같다. 그렇다고 이 책을 읽고 수학이 갑자기 쉬워졌다는 생각은 들지 않았다. 여전히 수학은 어렵고 앞으로도 어려울 것이다. 하지만 적어도 수학이 필요한 학문이고, 수학적 원리를 이해할 때 성적이 좋게 나오는 것을 떠나서 삶이 다채로워질 수 있다는 생각이 들었다. 그렇게 관심 있는 수학적 원리에 대해서 하나씩 배워가다 보면 큰 발전은 아니어도 단계적 발전은 있을 것이다.